妙证素数个数为无限个

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数论

素数在数论中是一个重要的研究对象。那么,素数的个数是无限的,这个是怎么证明的呢?

欧几里得

关于素数,最古老的问题是:素数有多少个?欧几里得在《几何原本》中,最先证明了素数有无穷多个。他的巧妙的证明方法,闪耀着智慧的光辉。2000多年来,人们虽也提出过一些别的证法,但是直到今天,还是欧几里得的证明方法最好:
假若素数只有有限多个,设最大的一个是P,从2到P的全体素数是:
2,3,5,7,11……,P。
所有的素数都在这里,此外再没有别的素数了。
现在,我们来考察上面从2到P的全体素数相乘、再加上1这个数,设它是A,即
A=2×3×5×7×11×……×P+1。
A是一个大于1的正整数,它不是素数,就是合数。
如果A是素数,那么,就得到了一个比素数P还要大的素数,这与素数P是最大素数的假设矛盾。
如果A是合数,那么,它一定能够被某个素数整除,但是从上述式子来看,除以任何2到p里的素数都会剩余1,所以A也不是合数。

上面的证明否定了素数只有有限多个的假定,这就证明了素数是无穷多个。

其实算术基本定理(也叫正整数的唯一分解定理)也是用反证法证明的。

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